数学是AI的基本功吗，哪些数学比较重要

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　　数学在科学领域的重要地位毋庸置疑，爱因斯坦曾言：“纯数学能揭示概念及其间的规律，赋予我们理解自然现象的钥匙。数学之所以受到尊崇，是因为其命题的绝对可靠性，无可争辩，而其他科学则常面临被新发现事实推翻的风险。”这表明，一门学科若能用数学形式化标识，便意味着其表达的精确性和可重复性，甚至可能借助数学工具推导出未知规律。

　　那么，在AI研究中，数学是否依然占据核心地位？哪些数学与AI的关系更为紧密？今天，我们就此展开讨论。

数学的本质

　　坦率地说，大多数人可能对数学抱有负面印象，这可能与从小被动接受大量数学知识并不断参加考试有关，让人觉得数学是死记硬背、机械枯燥的科目。然而，追溯数学的起源，它并非枯燥学问，而是源于现实生活，用于描述生活现象。从结绳计数到几何形状描述，都是数学对生活现象的抽象过程。例如，球是圆的，但真实世界中并不存在完美圆，圆形是对类似圆形事物的概括和抽象。阿拉伯数字1、2、3是对数量的计量，但数字无法完全描述所有事物属性，只是从某一角度抽象了数量概念。

　　数学的起源可追溯到古希腊的毕达哥拉斯学派，他们提出“数学是现实的核心，万物皆数，数统治着宇宙”。后来，巴比伦、埃及和我国古代也发展出类似的计数和算术概念。西方社会因好奇心和兴趣将数学发展到庞大且复杂的程度，认为数学是世界的本质。相比之下，我国对数学重视不足，一方面因农耕文明依靠人力和科技够用；另一方面因人口众多、资源紧张，无暇顾及看似无用的学问。尽管如此，西方数学大厦宏伟壮观，广泛应用于生产、装备等领域，形成应用数学方向，如运筹学等。

　　数学计算本身有趣，通过抽象化规则推理可预判事物结果。但规则并非凭空产生，而是对人类所见规律的总结。数学体系建立在公理基础上，如加减乘除规则等，然后建立定理，逐渐构建公理体系。数学家不断修正体系，使其更准确地描述现实世界。

　　数学核心在于逻辑和量化，使用抽象和推理手段。整个数学体系基于代数和几何演化。学习数学是学习逻辑，不同数学方向逻辑不同。公理如地基，定理如房梁和柱子，构建整个体系。新公理基础可搭建新体系，经典公理来源于观察和实践。例如，若在某种情况下1+1不等于2而是3，则可建立新计算方式。但逻辑可在不同情境下矛盾，因现实世界存在规律不同的事物。

数学在AI中的应用

　　智能技术发展至今经历诸多变化。机器学习时代用函数拟合数据分布进行分类或预测；神经网络时代用网络模型拟合数据，具有从数据中迭代优化找规律的能力。但两者都离不开数学支撑，如神经网络训练的梯度下降法等。AI核心技术是算法，算力和数据由其他专业发现。算法发展离不开数学支撑，因数字计算需数学工具解决复杂问题。例如，大脑结构复杂无法精确测绘信息变化过程。目前无法精确建模分析老鼠大脑网络计算，只能做简化假设。因此，AI理论分析仍缺乏有效手段。

　　神经网络推广应用的瓶颈在于数学模型不清晰。多层大量参数的神经网络为何能代表一种规律？这种规律是否可靠？使用条件是什么？由于无法准确建模描述复杂网络，难以解释输入输出关系。因此，在可解释性、安全性等方面存在担忧和顾虑。目前神经网络像中医一样多经验性、少定理化。但神经网络中用到的数学方法很多，如偏微分方程求导计算、梯度下降优化、马尔可夫决策、概率统计、向量计算等。这些方法是掌握当前神经网络类模型的基础。

未来展望

　　未来数学既是智能研究从经验到理论的手段，也是让智能变得可解释、高效使用的重要途径。智能模型需获得人类理解才能被妥善使用。如同飞机最初模仿但如今需深入理解空气动力学才能制造高超音速飞机。AI的数学化发展刚起步。当AI尤其是神经网络的数学理论建立时人类的智能可能被超越因为大脑处理复杂信息的秘密被揭开并高效使用。

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